Le nombre d’or

par Ekopédia.org

De tout temps, les artistes ont été en quête d’harmonie et de beauté au sein de leurs oeuvres. Depuis l’antiquité, les géomètres et les philosophes ont cru à l’existence d’une proportion privilégiée permettant d’obtenir ces caractéristiques tant recherchées; les artistes de la Renaissance l’appelèrent le « Nombre d’or ».

Aussi appelé « Proportion divine », il fascine les esprits depuis des millénaires. On le désigne par la lettre grecque φ (Phi) en référence au sculpteur grec Phidias (500 av. J.-C.) qui l’utilisa pour travailler sur la statue d’Athéna décorant le Parthénon à Athènes.

La nature semble l’utiliser, certains peintres le connaissaient et il fut de très nombreuses fois employé par les architectes pour trouver des proportions harmonieuses. Il fut de surcroît étudié par beaucoup de brillants mathématiciens.

1 Histoire

1.1 Le nombre d’or à travers le temps
* Les Égyptiens utilisèrent à la fois Pi et Phi pour la construction des grandes pyramides.
* Ve siècle avant J.-C.: Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d’or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d’Athéna Parthénos. Il utilise également la racine carrée de 5 comme rapport.
* IIIe siècle avant J.-C.: Euclide évoque le partage d’un segment en « extrême et moyenne raison » dans le livre VI des Éléments.
* Xe siècle: Utilisation du nombre d’or pour la construction de la Cathédrale Notre Dame de Paris.
* 1498: Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, avec l’aide de Léonard de Vinci, écrit « De divina proportione » (La divine proportion), ouvrage entièrement consacré au nombre d’or.
* Au cours du XXe siècle: des peintres tels Dali et Picasso, ainsi que des architectes comme Le Corbusier, eurent recours au nombre d’or.

1.2 Le nombre de tout temps
De tout temps, si on demande à des personnes de dessiner un rectangle quelconque, le format des rectangles sera (dans 75 % des cas selon le physiologiste et philosophe allemand Gustav Fechner, en 1876) proche du nombre d’or.

Phi est également appelé « nombre divin ». Comme l’ont démontré Léonard de Vinci et bien d’autres après lui, il régit les proportions de la nature. Par exemple, une coquille d’escargot possède une forme en spirale, et le rapport de la largeur de 2 spires consécutives vaut Phi. Et ce n’est pas le seul cas; le corps humain est également régi par cette proportion; de nombreuses études démontrent aussi que le rapport entre mâles et femelles dans une ruche vaut également « phi ». En botanique, « si les feuilles (et par conséquent les rameaux) d’une plante étaient espacées sur la tige par des intervalles d’exactement 137°30’28 », aucune feuille ne se situerait exactement au-dessus d’une autre, ce qui diminuerait l’ombre portée par cette feuille sur les autres situées plus bas ».

2 Principes
Le nombre d’or n’est pas réellement un nombre, mais plutôt le rapport entre deux nombres (d’ailleurs, c’est pourquoi il se nomme aussi proportion divine).
Phi (φ) est un nombre irrationnel dont la valeur exacte est: Image:Phi.png

Le nombre d’or, comme vous le verrez, à des particularités mathématiques assez étonnantes.

2.1 Propriétés algébrique du nombre d’or
Deux nombres sont dits être dans le rapport du nombre d’or, ou dans la divine proportion, si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit: (a+b) / a = a / b ou encore b / (a-b) = a / b

Après quelques manipulations algébriques (multiplier la première équation avec a/b ou la seconde avec (a − b)/b), chacune des équations sont alors équivalentes à: (a / b)2 = a / b + 1

et donc: a / b = φ

Finalement, afin d’utiliser la divine proportion, il vous suffira de calculer: a = φ * b

2.1.1 Carré du nombre d’or
Pour calculer le carré du nombre d’or, il suffit de lui ajouter 1: φ² = φ + 1

2.1.2 Inverse du nombre d’or
Pour calculer l’inverse du nombre d’or, il suffit de lui retrancher 1: ‘1/φ = φ – 1
3 Applications
Nous allons voir ici comment utiliser le nombre d’or. Il est vrai que dans la vie de tous les jours, il est peu probable d’avoir à l’utiliser. Toutefois, pour la création d’une oeuvre artistique, ce dernier peut être très utile! Attention, la construction architecturale est aussi considérée comme oeuvre artistique; ainsi, le nombre d’or peut être utilisé afin de définir les proportions d’un bâtiment et de ses murs.

Nous l’avons vu plus haut: a = φ x b (Phi multiplié par b). Il devient alors simple de trouver les longueurs nécessaires afin d’obtenir la proportion divine.

3.1 Le segment d’or
Une ligne est divisée en deux segments a et b. La ligne entière est au segment a ce que le segment a est au segment b.

3.2 Trouver un point
A partir de la technique décrite pour le segment d’or, il est possible de trouver un point (ou zone) idéal dans une figure géométrique. Par exemple, appliqué à un rectangle de 5 cm sur 3 cm, nous avons: 5 cm divisé par 1,618 = 3,09 cm et 3 cm divisé par 1,618 = 1,85 cm. Il est ainsi possible de porter ces résultats sur le rectangle de quatre manières différentes:

En pratique, ce type de point peut être utile en architecture ou encore en dessin afin de placer un point de fuite ou encore un objet important, sur lequel l’attention doit se porter.

3.3 Le rectangle d’or
Un rectangle est appelé rectangle d’or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d’or.

3.4 Construction
Le tracé d’un rectangle d’or se fait très simplement à l’aide d’un compas, il suffit de pointer le milieu d’un côté d’un carré, de pointer l’un des deux angles opposés, puis de rabattre l’arc de cercle sur la droite passant par le côté du carré pointé. Ceci est un des « secrets » de compagnonnage.

* ABCD est un carré de côté 1.
* K est le milieu du segment [AD].
* On trace un arc de cercle de centre K et de rayon [KC]; il coupe la droite (AD) en E.
* On construit alors F tel que ABFE soit un rectangle.
* ABFE est un rectangle d’or.

Avec cette technique, il vous est possible de définir les proportions d’un mur, d’un cadre, de toutes sorte d’objets rectangulaires. Par exemple, vous souhaitez créer un cadre (pour une peinture) selon la proportion divine. Il vous faudra tout simplement décider d’une des longueurs de celui-ci, puis d’utiliser la technique précédente (avec la longueur, formez un carré, prenez le milieu d’un segment…) afin d’avoir un rectangle d’or.

3.5 La spirale d’or
Prenez un rectangle d’or (L/l = phi). Enlevez-lui un carré formé à partir du plus petit côté. Le rectangle restant est un rectangle d’or! On peut ainsi continuer l’opération à l’infini. Et si maintenant on souhaite relier les côtés opposés des carrés on obtient une spirale logarithmique, dite spirale d’or.

3.6 L’angle d’or
Un angle d’or est un angle d’environ 137,5°. On le retrouve dans la nature, comme par exemple dans la pomme de pin, la fleur de tournesol… Il est obtenu par: 360°/(φ+1)

3.7 Le triangle d’or
En géométrie, un angle d’or est un angle créé par la division de la circonférence (c) d’un cercle en une section a et en une plus petite section b, de sorte que: c = a + b

et c / a = a / b

Un triangle d’or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d’or. Leurs angles doivent en conséquence mesurer 36° et 72°.

Le triangle d’or a aussi la particularité (comme toutes les proportions divines) de pouvoir se répliquer à l’infini:
4 Conclusions
Le nombre d’or est un thème très controversé. Certains pensent qu’il est possible de trouver n’importe quel nombre n’importe où, qu’il suffit de chercher. Certains aussi pensent que le nombre d’or n’a jamais été utilisé dans l’art; qu’il y a confusion avec le rapport 5/8 = 0.625 souvent utilisé par les artistes. Mais ce même rapport ne pourrait-il par être une sorte d’approximation de Phi?

« Les nombres gouvernent le monde », disait Pythagore.

Mais maintenant, il ne vous reste plus qu’à vous faire votre propre opinion sur ce nombre magique ou non…

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